Matematyka w starożytności

[TyberiusClaudius]

Temat taki jak napisane powyżej. Jakie działania wykonywali starożytni? Jak je zapisywali?

[Furiusz]

A to chyba powinieneś spytać nauczyciela od matematyki i fizyki. W wielu przypadkach konkretnych obliczeń nie będzie - bo i niby jak miałoby się to zachować? Czasem mamy jakieś rachunki, weksle, poświadczenia wypłaty żołdu etc. Trochę wzmianek mimochodem w literaturze, co nieco w Pompejach i Herkulanum na murach.

Jakie mamy działania? Twierdzenia Talesa, Pitagorasa, Menelaosa, Herona.

Może zainteresuje Cię wydanie Euklides, Elementy po polsku - Strona o Euklidesie

Plimpton 322 to z kolei babilońska tabliczka gliniana generalnie datowana na ok 1800 aC z zapisem formuł matematycznych - prawa Pitagorasa.

[Speedy]

Hej

Plimpton 322 to z kolei babilońska tabliczka gliniana generalnie datowana na ok 1800 aC z zapisem formuł matematycznych - prawa Pitagorasa.

Sorry za głupie zapewne pytanie: co to jest "aC"? To samo co p.n.e.?

[Furiusz]

Tak. Ante Christum natum a w zasadzie ante Christum. Przed narodzinami Chrystusa. Nie lubię pne - dla mnie to nie znaczy nic i dlatego unikam tego skrótu.

[Speedy]

Tak. Ante Christum natum a w zasadzie ante Christum. Przed narodzinami Chrystusa. Nie lubię pne - dla mnie to nie znaczy nic i dlatego unikam tego skrótu.

Ok, rozumiem. Ja z kolei mam odwrotnie: stwierdzenie, że Jezus Chrystus urodził się 6-7 lat przed narodzeniem Chrystusa brzmi dla mnie dość idiotycznie i kuriozalnie. Ale to, że się urodził około 7 r. przed naszą erą jest dla mnie OK - nasza era jest nasza , więc możemy sobie swobodnie wybrać właśnie akurat taki a nie inny punkt zerowy za jej początek.

[poldas]

A ten "punkt zerowy" to się niby skąd bierze?

Czy prawdą jest że w starożytności nie uznawano czegoś takiego jak zero?

Speedy - https://forum.historia.org.pl/topic/17064-wojna-radioelektroniczna/page__p__247222__fromsearch__1#entry247222

[Furiusz]

I tak i nie, na wspomnianej Plimpton 322 zero to po prostu puste miejsce ale wykorzystywał jakiś symbol na 0 Ptolemeusz. Przy wyższych obliczeniach matematycznych po prostu jakoś z tym musiano sobie radzić ale zero rzeczywiście stanowiło problem.

[secesjonista]

Grecy początkowo nie przyjęli "idei zera", a to stąd, że nie przyjęli koncepcji, iż wielkości nieskończenie małe (bądź wielkie) mogły by być liczbami. Stąd nie mogli dojść do rachunku różniczkowego.

W Babilonii znane nam zapisy stosowały zero (jako puste miejsce bądź poprzez zaznaczenie dwoma lub trzema znakami) pozycyjne, a nie jako oddzielną liczbę. Chyba nie znaleziono zapisu z Babilonii w którym tak zaznaczone zero pojawiłoby się na końcu zapisu jakiejś wielkości.

Dotąd istnieje niejasność skąd taki a nie inny kształt "0": od obola, od nazwy "ouden", śladu na piaskowych tablicach liczydeł.

Warte uwagi:

Ch. Seife "Zero. Niebezpieczna idea"

Amir D. Aczel "Tajemnica alefów"

J. Dadaczyński "Filozofia matematyki w ujęciu historycznym"

"Historia matematyki. Od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia", T. I, pod red. A. P. Juszkiewicza.

[Tomasz N]

Babilończycy ? A ja myślałem, że to wkład Milera w matematykę.

[jancet]

Jakie działania wykonywali starożytni?

Ano - dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i potęgowanie. Sinusowanie, cosinusowanie i tangensowanie.

Jak je zapisywali?

Z tym to mieli spory kłopot. Bo np działanie 204:2 po naszemu wykonuje się łatwo

204:2=1

-0...=10

--4..=102.

Przy zapisie rzymskim mamy CCIV : II !?!

I tak: C : II = L

drugie C : II = L

potem I : II daje połówkę (ale musisz pamiętać, że to I to tylko symbol zmniejszający V, więc jest "w minusie". Czy znali liczby ujemne - chyba tak)

następnie V : II daje II i jeszcze pół.

Na koniec sumujemy: L + L + II i odjąć pół, a następnie dodać pół, co w końcu daje CII.

Koszmar !!!

Dlatego arytmetyka u starożytnych rozwijała się znacznie gorzej, niż geometria.

Szkoda tylko, że potem, przy wprowadzaniu systemu pozycyjnego, zdecydowano się na dziesiętny, a nie tuzinowy. Tuzin dzieli się bez reszty przez 2, 3, 4 i 6, a dziesięć tylko przez 2 i 5. Ergo - tabliczka mnożenia w systemie tuzinowym byłaby łatwiejsza, choć o 44 więcej pozycji do zapamiętania.

[poldas]

Ciekawa sprawa.

Mnie system dziesiętny wydaje się być bardziej czytelnym.

Ale to może wina mojej percepcji, bo... rozróżniam Tuziny i Kopy (12 60).

204:2=1

-0...=10

--4..=102.

Przy zapisie rzymskim mamy CCIV : II !?!

I tak: C : II = L

drugie C : II = L

Ano sto dwa ( CII ).

Tu nie ma co kombinować, bo oni umieli liczyć.

Umiejętność obywania się bez matematycznego zera bardziej pojmuję jako zaletę, niż wadę.

No bo niby czym jest zero?

[secesjonista]

(...)

Czy znali liczby ujemne - chyba tak

(...)

Znali i nie znali...

stosowali zapis ujemny w księgach długów ale jako koncepcję matematyczną to raczej nie znali.

Z problemem (4x + 20 = 0) borykał się grecki matematyk Diofantos, rozwiązanie zdało mu się niedorzeczne. Znacznie później liczby ujemne odnajdujemy u Brahmagupty (autor m.in. "Brahmasphutasiddhanta" i "Khandakhayaka"), znaznaczał on początkowo liczby ujemne kropką nad liczbą. Inny indyjski matematyk Bhăskara Aćarja otrzymał ujemne pierwiastki równania kwadratowego, a względem otrzymanego wyniku uznał, że nie należy go przyjmować, a ludzie go nie zaakceptują.

Jeszcze w XVI w. matematycy choć przeprowadzali działania na liczbach ujemnych to wciąż nazywali je "absurdi", a pierwiastki mniejsze od zera uznawali za fikcyjne.

Przełom nastąpić miał po badaniach René Descartes’a i jego "La Geometre" z 1637 roku...

/za: A. Chromczak, P. Poloczek "Kształtowanie pojęcia liczby - wybrane aspekty", "Th!nk" WSIiZ w Rzeszowie, nr 1 (2), 2010;/

Podaje się, że w greckiej myśli matematycznej liczba będąca istotą uchwytnych rzeczy i jest miarą, miarą czegoś cielesnego i bliskiego. U Anaksymandra spotykamy termin: "άπειρον", oznaczający 'coś" co nie posiada liczby w sensie pitagorejskim, czyli żadnej mierzalnej granicy. Co przyrównywane jest do posągu, jeszcze niewydobytego z kamienia.

"Duchowość starożytna odczuwała zasadę niewymierności, burzącą posągowy szereg liczb całkowitych [naturalnych], reprezentantów doskonałego w sobie porządku świata, jako występek przeciw samej Boskości. Uczucie to jest widoczne u Platona, w dialogu Timajos.

Wraz z przemianą nieciągłego szeregu liczbowego [charakterystycznego dla Starożytnej Grecji] w [zachodnioeuropejską nowoczesną ideę] kontinuum zakwestionowaniu ulega nie tylko antyczne pojęcie liczby, lecz i samo pojęcie antycznego świata. Rozumie się teraz, iż w starożytnej matematyce nie są nawet możliwe liczby ujemne, wyobrażalne dla nas bez żadnego

trudu, a tym bardziej zero jako liczba — spekulatywny twór godnej podziwu energii abstrahowania, który dla duszy indyjskiej (ona właśnie wykoncypowała go jako podstawę pozycyjnych układów numeracyjnych) stanowi wręcz klucz do sensu bytu. Wszystko zrodzone z rozbudzonej w antyku świadomości zostało więc podniesione do rangi czegoś rzeczywistego wyłącznie dzięki rzeźbiarskiemu poczuciu ograniczoności. To, czego nie sposób nakreślić, nie jest „liczbą”. Platon, Archytas i Eudoksos mówią o liczbach powierzchniowych (kwadratowych) i cielesnych (stereometrycznych), mając przy tym na myśli nasze podnoszenie do drugiej i trzeciej potęgi; rozumie się samo przez się, że nie istniało dla nich pojęcie wyższych potęg o wykładnikach całkowitych. Potęga czwartego stopnia byłaby w świetle fundamentalnego poczucia rzeźbiarskiego, które podstawia od razu pod to wyrażenie czterowymiarową, i to materialną rozciągłość, niedorzecznością (...)

Euklides określa mnożniki jakiegoś iloczynu mianem boków (πλευραί). Rachuje się ułamkami — oczywiście skończonymi — analizując wyrażany liczbami całkowitymi stosunek dwóch odcinków. Właśnie dlatego nie mogło w ogóle powstać wyobrażenie liczby zero jako rysunkowo bezsensowne".

/R.P. Kostecki "Krótka historia matematyki", s. 17; cyt. za: O. Spengler "Zmierzch Zachodu", rozdz. "O znaczeniu liczb"/

Z literatury dodać można:

E. Kącki, W. Krysicki "Jak liczono dawnej, jak liczymy dziś"

S. Kulczycki "Opowieści z dziejów liczb"

tegoż, "Z dziejów matematyki greckiej"

M. Kordos "Historia matematyki"

N. Bourbaki "Elementy historii matematyki".

[poldas]

To może jeszcze inaczej;

Kto wymyślił coś takiego jak "zero" ?

Ten czynnik spowodował rewolucję w obliczeniach matematycznych.

Kto jest sprawcą?

[Furiusz]

Przy zapisie rzymskim mamy CCIV : II !?!

Jancetcie - to jest zapis absolutnie nie-historyczny. Rzymianie takiego nie stosowali - dla nich 4 to IIII. Formę IV wprowadzono w XVIII wieku.

Kto wymyślił coś takiego jak "zero" ?

Będzie ciężko. Jak zwracał uwagę Secesjonista - babilończycy na oznaczenie 0 stosowali puste miejsce. Tak to funkcjonuje w Plimpton 322. Dionysiusa Exiguus używał N - od nulla do oznaczenia zera, gdy obliczał datę Wielkanocy. Tak też tego używał Beda Czcigodny. A autorstwo jest pewnie hinduskie - jako, że nasz system zapisu jest zaczerpnięty stamtąd.

[secesjonista]

Dodajmy trop językowy; który nie jest oczywiście rozstrzygającym; otóż zero miało przyjść do nas z sunya (w sanskrycie - pusty). To słowo w językach arabskich znalazło formę: as-sifr, co dało początek szeregu innym słów: Cyfra, szyfr i zero.

Starożytni Grecy z pewną ambiwalencją traktowali również liczbę: jeden, uznając, że jest zbyt małą by mówić o liczebności. Dla pitagorejczyków jedne to nie liczba - albowiem nie zwiększa iloczynu (a powinna - ich zdaniem), stąd koncepcja monady. Oddanie należnego miejsca tej liczbie - to dzieło Archytasa z Tarentu. Podobnie Proklos uważał, że liczba: dwa nie zasługuje na miano liczby, jako, że powiększa się tak samo przy dodawaniu i mnożeniu.

/za: M. Szurek "Liczby w kulturze", "Matematyka stosowana", nr 7, 2006/

Przyjmuje się, że i Chińczycy idee matematyczne również zaczerpnęli ze 'źródła indyjskiego', w pracy "Matematyczny traktat w dziewięciu rozdziałach" bądź znanej pod inną nazwą "Dziewięć rozdziałów sztuki matematycznej" (z 1247 r. "Jiǔ zhāng suàn shù") autorstwa Ch’in Chiu-Shao, pojawia się "0" jako zero.

/za: M. Jaszczuk-Surma "Historia Zera", na: www.światmatematyki.pl/

Mniej więcej w tym samym czasie kiedy w Mezopotamii pojawia się zero w postaci dwóch kresek (zapis sześćdziesiątkowy), w Indiach w postaci pustego pola, w Chinach również pojawia się oznaczenie zera poprzez puste pole. Było to w okresie kiedy powstał system liczenia za pomocą pałeczek.

I taka anegdotka o komplikacjach z zerem w "różnych systemach pojęciowych"...

Wacław Sierpiński wyjeżdżał z swą małżonką, na peronie nie może się doliczyć ich walizek:

- Zginęła jedna nasza walizka, powiada żonie,

- Pamiętam, że przyniosłem jakąś, a Ty powiedziałaś: no, dobrze, to już szósta, ostatnia!

Żona rozgląda się, liczy i powiada:

- Widzę, że są wszystkie!

Nasz wybitny matematyk żywo oponuje:

- Ależ skąd!

I liczy:

- zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć - a gdzie szósta?!?